Propriété de symétrie

Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Soit \(a,b,c\) trois réels, \(a\) non nul et \(f\) la fonction polynôme du second degré définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=ax^2+bx+c\) .

Propriété

La parabole représentative de la fonction \(f\) est symétrique par rapport à la droite parallèle à l'axe des ordonnées dont une équation est \(x=-\dfrac{b}{2a}\) . 

Démonstration

Dire qu'une courbe est symétrique par rapport à une droite \((d)\) parallèle à l'axe des ordonnées signifie que, quel que soit  \(\text M\) un point de cette courbe, le point symétrique de \(\text M\) par rapport à  \((d)\) appartient à la courbe.

Soit alors \(\text M(x_\text M;y_\text M)\) un point de la parabole. Construisons le symétrique de \(\text M\) par rapport à la droite \((d)\) d'équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\) . Le projeté orthogonal de \(\text M\) sur \((d)\) est le point \(\text I\) de coordonnées \(\text I \left(-\dfrac{b}{2a};y_\text M\right)\) . En effet,  \(\text I\) est le point d'intersection de la droite \((d')\) perpendiculaire à \((d)\) passant par \(\text M\) et de \((d)\) . Comme \((d)\) est parallèle à l'axe des ordonnées,  \((d')\) est parallèle à l'axe des abscisses et son équation réduite est \(y=y_\text M\) . Un point \(\text M'\) est le symétrique de \(\text M\) par rapport à \((d)\) si et seulement si \(\text I\) est le milieu de \([\text M \text M']\) . Les coordonnées de \(\text M'\) sont donc \(x_\text {M'}=2x_\text I-x_\text M\) et   \(y_\text {M'}=2y_\text I-y_\text M\) c'est-à-dire    \(x_\text {M'}=2\times \left(-\dfrac{b}{2a}\right)-x_\text M=-\dfrac b a -x_\text M\) et  \(y_\text {M'}=2y_\text M-y_\text M=y_\text M\) . 
Pour conclure, nous devons démontrer que \(\text {M'}\) appartient à la parabole représentative de \(f\) , c'est-à-dire que ses coordonnées satisfont l'équation de la parabole.

Comme \(\text M\) appartient à la parabole, ses coordonnées vérifient \(y_\text M=ax_\text M^2+bx_\text M+c\) . On exprime les coordonnées de \(\text M\) en fonction de celles de \(\text {M'}\) grâce aux expressions trouvées précédemment et on a
\(y_\text {M'}=a\left(-\dfrac b a -x_\text {M'}\right)^2+b\left(-\dfrac b a -x_\text {M'}\right)+c\)
\(y_\text {M'}=a\left(\dfrac {b^2} {a^2} +2\dfrac b a x_\text {M'}+x_\text {M'}^2\right)-\dfrac {b^2} {a} -bx_\text {M'}+c\)
\(y_\text {M'}=\dfrac {b^2} {a} +2b x_\text {M'}+ax_\text {M'}^2-\dfrac {b^2} {a} -bx_\text {M'}+c\)
\(y_\text {M'}=ax_\text {M'}^2+b x_\text {M'}+c\)
Les coordonnées de \(\text {M'}\) satisfont l'équation de la parabole. On en déduit que \(\text {M'}\) appartient à la parabole représentative de la fonction \(f\) .

On vient de démontrer que, quel que soit \(\text M\) un point de la parabole, son symétrique \(\text {M'}\) par rapport à la droite \((d)\) , dont une équation est \(x=-\dfrac{b}{2a}\) , appartient à la parabole. On en conclut que la parabole représentative de la fonction \(f\) est symétrique par rapport à \((d)\) .

Exemple

Soit \(y=x^2-3x+5\) l'équation réduite d'une parabole. Une équation de son axe de symétrie est \(x=-\dfrac{-3}{2\times1}\) c'est-à-dire \(x=\dfrac 3 2\) .